Информационно-образовательный портал СОДРУЖЕСТВА НЕЗАВИСИМЫХ ГОСУДАРСТВ
ИНФОРМАТИЗАЦИЯ ОБРАЗОВАНИЯ
И ДИСТАНЦИОННОЕ ОБУЧЕНИЕ В СНГ
Информационно-образовательный портал СОДРУЖЕСТВА НЕЗАВИСИМЫХ ГОСУДАРСТВ  

Страны
Азербайджанская Республика
Республика Армения
Республика Беларусь
Республика Казахстан
Кыргызская Республика
Республика Молдова
Российская Федерация
Республика Таджикистан
Туркменистан
Республика Узбекистан
Украина

Типы материала
Информационно-коммуникационные технологии
Дополнительные информационные материалы
Нормативно-правовое обеспечение
Организация и методики обучения
Экономика образования
Межгосударственное сотрудничество
Образовательные центры
Методики обучения
Межвузовское сотрудничество
Повышение квалификации
Международные проекты и гранты, конкурсы
Конференции, симпозиумы, семинары и др.
Библиотека
 
Журнал «Вестник РУДН» серия «Информатизация образования»
 
2014, №4
2014, №3
2014, №2
2014, №1
2013, №4
2013, №3
2013, №2
2013, №1
2012, №4
2012, №3
2012, №2
2012, №1
2011, №4
2011, №3
2011, №2
2011, №1
2010, №4
2010, №3
2010, №2
2010, №1
2009, №4
2009, №3
2009, №2
2009, №1
2008, №4
2008, №3
2008, №2
2008, №1
2007, №4
2007, №3
2007, №2-3
2007, №1
2006, №1(3)
2005, №1(2)
2004, №1
Научные и специальные электронные ресурсы
Учебная, научная и специальная литература
Комиссия по дистанционному обучению совета по сотрудничеству в области образования государств-участников СНГ
Новости

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ WOLFRAMALPHA ПРИ ОБУЧЕНИИ РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ С ПАРАМЕТРАМИ


Аннотация
В центре внимания данной статьи WolframAlpha – новый математический online-процессор, позволяющий при условии методически целесообразного использования в учебном процессе существенно повысить качество математической и методической подготовки будущего учителя математики и информатики в системе бакалавриата и магистратуры.

Текст документа

Введение. В условиях математизации и информатизации всех отраслей знаний и деятельности рынок труда предъявляет повышенные требования к информационной и математической подготовке выпускников (как в общекультурном, методологическом аспектах, так и в аспекте инструментальной компетентности), что естественным образом должно находить отражение в системе подготовки будущих учителей математики в бакалавриате и магистратуре.

На кафедре точных и естественных наук МГГУ им. М.А.Шолохова к настоящему времени накоплен богатый педагогический опыт интеграции информационных и педагогических технологий на основе использования нового математического online– процессора WolframAlpha и специально создано новое методико – технологическое обеспечение нескольких учебных дисциплин математической и методической подготовки бакалавров (направление 050100 «Педагогическое образование, профили Математическое образование» и Информатика и ИКТ в образовании») и магистров (050100 «Педагогическое образование»).

В рамках данной статьи на трех конкретных примерах будут представлены особенности использования WolframAlpha в учебном процессе на примере элективного курса «Задачи с параметрами», специально созданного для усиления интегративной и прикладной подготовки будущего учителя математики и информатики.

Отметим что, параметр (от греч. parametreo – меряю, сопоставляя) – величина, входящая в математическую формулу и сохраняющая постоянное значение в пределах одного явления или для данной частной задачи, но при переходе к другому явлению, к другой задаче меняющая свое значение. Другими словами параметром называется независимая переменная величина, входящая в условие задачи или появляющаяся в процессе ее решения, «управляющая» решением задачи. Задачи с такими особыми величинами принято называть задачами с параметрами (параметрическими задачами). Особый класс задач – задачи с параметрами, присутствующий в ГИА и ЕГЭ, традиционно считается сложным, трудным для большинства школьников, студентов, молодых учителей. Причины этого нам представляются в разнообразии типов задач с параметрами и методов их решения, нетрадиционности формулировок самих заданий, искусственной изолированности содержательно – методической линии «Задачи с параметрами» в системе содержательно – методических линий школьного и вузовского курсов математики.

С широким внедрением информационных технологий в учебный процесс актуален вопрос: насколько они способны помочь школьнику, студенту, учителю математики? В контексте содержательно-методической линии «Задачи с параметрами»: позволяют ли они полностью решить задачу с параметром, более глубоко проникнуть в суть задач с параметром, интерпретировать полученный результат, делать обобщения и формулировать выводы.

Далее представим читателю и проанализируем 3 типовые задачи с параметром, на основе которых можно сформировать представление о дидактических и инструментальных возможностях WolframAlpha.

Задача 1.  Решить уравнение  при всех значениях параметра а.

Решение. Обратим внимание, что данное уравнение линейно относительно переменной х. После группировки по степеням х, получим: . Далее выделим 3 принципиальных случая.

1) , . 2) , , . 3) , , .

Рис. 1. Решение задачи 1 в WolframAlpha

Комментарий 1. Выделение WolframAlphaдвух случаев решения задачи 1, представленных на рис.1 подразумевает их несовместность. Мы видим, что значение параметра  выделено в отдельный случай, следовательно в первом случае можно дописать . Обратим внимание, что некоторые значения параметра а не включены в результат выданный WolframAlpha – это . Другими словами при  – решений нет. Последний случай имеет наглядную геометрическую интерпретацию – ветви гиперболы приближаются к оси x (рис. 1).

Задача 2.  Решить уравнение  при всех значениях параметра а.

Решение. Следуя логике решения квадратных уравнений, определим дискриминант: . Рассмотрим три традиционных для решения квадратных уравнений случая:

1) ; ; ;  – уравнение имеет два корня.

2) ; ; ;  – уравнение имеет один корень (два совпадающих корня).

3) ; ;  – уравнение не имеет действительных корней.

Рис. 2. Решение задачи 2 в WolframAlpha.

Комментарий 2.Обратимся к графику, представленному на рисунке 2.

1. Учитывая область определения представленной на рис. функции видим, что при  – уравнение не имеет решений.

2. При  уравнение имеет единственное решение .

3. При  проводя перпендикулярные прямые к оси параметра а мы получаем пары решений (следствие свойства симметрии параболы). Заметим, что именно эти пары решений аналитически представлены в WolframAlpha.

Перейдем к рассмотрению третьей задачи – линейного неравенства с параметром.

Задача 3.  Решить неравенство  для каждого значения параметра а.

Решение. После приведения неравенства к общему знаменателю, приведения подобных слагаемых и группировки слагаемых по степеням x, получаем:

 

; .

 

Представим далее распределение знаков для коэффициента стоящего при xи решим неравенство относительно x:

 

 

Учитывая правила преобразования неравенств, выделим следующие случаи.

1 случай

Если , тогда .                                                            (1)

2 случай

Если , тогда .                                                                              (2)

3 случай

Если , тогда , .                                                                          (3)

4 случай

Если , тогда , .                                                                           (4)

 

Рис. 3. Решение задачи 3 в WolframAlpha.

 

Комментарий 3. В данной статье ограничимся анализом случая  – правая область рисунка 3. Проводя прямые перпендикулярные оси параметра а заметим, что все точки (ах) располагаются ниже гиперболы, уравнение которой . Остальные три случая также наглядно интерпретированы на рисунке 3.

Еще раз отметим, что компьютер не выдает результат в случаях когда решений нет. Для рассматриваемой задачи это третий случай. Если , то переменная x принимает любое значение, т.к. никаких ограничений на х не наложено – случай (4). Решения (1) и (2) полностью совпали с решениями выданными WolframAlpha.

Вывод 1. Возможности WolframAlpha не ограничиваются типами и уровнями сложности трех рассматриваемых задач, а в контексте задач с параметрами достаточно широки и включают в себя следующие направления.

1.    Линейное уравнение и линейная функция (задача 1).

2.    Квадратное уравнение и квадратичная функция (задача 2).

3.    Многочлены. Целые уравнения и неравенства, системы уравнений и неравенств (задача 3).

4.    Дробно-рациональные уравнения и неравенства, системы уравнений и неравенств.

5.    Иррациональные уравнения и неравенства, системы уравнений и неравенств.

6.    Показательные уравнения и неравенства, системы уравнений и неравенств.

7.    Логарифмические уравнения и неравенства, системы уравнений и неравенств.

8.    Тригонометрические уравнения и неравенства, системы уравнений и неравенств.

9.    Комбинированные уравнения и неравенства, системы уравнений и неравенств.

10.    Производные элементарных функций и их применение.

Вывод 2. С целью эффективного использования технологий WolframAlpha следует обратить внимание на логику выстраивания последовательности задач с параметром по уровню их сложности.

Первый уровень традиционно должны составлять «элементарные» (репродуктивные) задачи. В основе их решений «элементарные» алгоритмы, применяемые для решения задач без параметров, так называемые «элементарные» задачи.

Второй уровень — «базовые» или «опорные» задачи. Такие задачи иллюстрируют определенный прием решения. В частности, к «базовым» задачам нужно отнести задачи, связанные с существованием корней квадратного трехчлена, их взаимным отношением, расположением корней на числовой прямой.

Третий уровень — уровень творческих или «нестандартных» задач, опирающихся на идеи и методы, представленные в первых двух уровнях, а также собственные теоретические находки обучающегося. Третий уровень задач с параметром имеет важное прикладное значение в контексте моделирования реальных проблем и ситуаций.

Вывод 3. При раскрытии содержания темы «Задачи с параметрами» WolframAlpha обеспечивает поддержку всех методов решения задач с параметрами:

1)   аналитический метод;

2)   функциональный метод;

3)   графический метод.

Посредством реализации возможностей визуализации и аналитики (вычислений), позволяет представить наводящие соображения, ориентиры решения, глубже проникнуть с суть метода решения, важно, что WolframAlpha выступает не как «универсальный решатель», а как инструмент для исследования.

Вывод 4. Вне зависимости от дисциплинарных границ применения, WolframAlpha достойно проявляет себя в качестве «процессора знаний», (система математических правил, формул, алго??итмов, мощный калькулятор и справочник), который ориентируясь на запросы пользователей, предоставляет искомую аналитическую и графическую информацию. Нельзя не отметить простоту WolframAlpha. В большинстве элементарных ситуаций работа студентов с WolframAlpha не вызывает затруднений: достаточно грамотно ввести соответствующий запрос в поисковое поле и после нажатия кнопки «Еnter» получить результат.

Вывод 5. Не менее важной нам представляется доступность WolframAlpha, предоставляющего бесплатный и неограниченный доступ к базе знаний, включающей огромное количество сведений об окружающем мире в математическом контексте (на языке количественных отношений и пространственных форм). Как показывает опыт работы со студентами бакалавриата и магистратуры, WolframAlpha становится незаменимым компонентом учебного процесса, позволяет по-новому математическими методами исследовать проблемы и ситуации в области экономики, финансов, управления, менеджмента, психологии, социологии, политологии, демографии, лингвистики, физики, биологии, экологии, химии.

WolframAlpha является мощным исследовательским инструментом, существенно облегчающим и ускоряющим процесс исследования. При этом в учебном процессе появляется возможность уделять больше внимания понимаю исследуемой ситуации, интерпретации полученных результатов, формулированию выводов и практических рекомендаций, расширяется класс модельных прикладных задач.

 

ЛИТЕРАТУРА

 

[1] Власов Д.А. Информационные технологии в системе математической подготовки бакалавров: опыт МГГУ им. М.А.Шолохова // Информатика и образование. – 2012. – № 3. – С. 93–94.

[2] Качалова Г.А., Власов Д.А. Проблемы подготовки будущего учителя математики к реализации содержательно-методической линии «Задачи с параметрами» // Российский научный журнал. – 2011. – № 2 (21). – С. 86–91.

[3] Качалова Г.А. Задачи с параметрами как средство развития математической культуры будущего учителя математики // Наука и школа. – 2013. – № 3. – С. 27–30.

[4] Мирошин В.В. Решение задач с параметрами. Теория и практика. – М.: Экзамен, 2009. – 286 с.

 

[5] Jesse Russell Wolfram Alpha. – M.: Print-on-Demand, 2012 – 101 с.


Автор оригинала: Д.А. Власов, А.В. Синчуков, Г.А. Качалова
Источник оригинала: Журнал "Вестник РУДН" Серия «Информатизация образования», 2014, №1

Новости
16.06.2017

Российский университет дружбы народов объявляет о проведение первой волны вступительных испытаний среди иностранных граждан для обучения на программах магистратуры на контрактной основе. Первая ...

13.10.2016

26 октября-27 октября 2016 года Российский университет дружбы народов проводит Международную конференцию «Сетевые университеты и международный рынок труда (пространства БРИКС, СНГ, ШОС)».

19.05.2016

The Peoples’ Friendship University of Russia (PFUR) announces the beginning of admission of foreign citizens who graduated from Bachelor and Specialist Degree programs of PFUR and other Russian and ...

19.05.2016

Российский университет дружбы народов (РУДН) объявляет о наборе иностранных граждан -выпускников бакалавриата и специалитета РУДН и других российских и зарубежных ВУЗов на программы магистратуры на ...

11.12.2015

Проект рекомендаций Семинара-совещания научной общественности по проблемам международного научно-технического и образовательного сотрудничества