Информационно-образовательный портал СОДРУЖЕСТВА НЕЗАВИСИМЫХ ГОСУДАРСТВ
ИНФОРМАТИЗАЦИЯ ОБРАЗОВАНИЯ
И ДИСТАНЦИОННОЕ ОБУЧЕНИЕ В СНГ
Информационно-образовательный портал СОДРУЖЕСТВА НЕЗАВИСИМЫХ ГОСУДАРСТВ  

Страны
Азербайджанская Республика
Республика Армения
Республика Беларусь
Республика Казахстан
Кыргызская Республика
Республика Молдова
Российская Федерация
Республика Таджикистан
Туркменистан
Республика Узбекистан
Украина

Типы материала
Информационно-коммуникационные технологии
Дополнительные информационные материалы
Нормативно-правовое обеспечение
Организация и методики обучения
Экономика образования
Межгосударственное сотрудничество
Образовательные центры
Методики обучения
Межвузовское сотрудничество
Повышение квалификации
Международные проекты и гранты, конкурсы
Конференции, симпозиумы, семинары и др.
Библиотека
 
Журнал «Вестник РУДН» серия «Информатизация образования»
 
2014, №4
2014, №3
2014, №2
2014, №1
2013, №4
2013, №3
2013, №2
2013, №1
2012, №4
2012, №3
2012, №2
2012, №1
2011, №4
2011, №3
2011, №2
2011, №1
2010, №4
2010, №3
2010, №2
2010, №1
2009, №4
2009, №3
2009, №2
2009, №1
2008, №4
2008, №3
2008, №2
2008, №1
2007, №4
2007, №3
2007, №2-3
2007, №1
2006, №1(3)
2005, №1(2)
2004, №1
Научные и специальные электронные ресурсы
Учебная, научная и специальная литература
Комиссия по дистанционному обучению совета по сотрудничеству в области образования государств-участников СНГ
Новости

ЛАБОРАТОРНЫЙ ПРАКТИКУМ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ С ПРИМЕНЕНИЕМ ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ


Аннотация
В данной статье рассматривается структура и содержание учебного пособия «Лабораторный практикум по математическому анализу с применением информационных технологий», Авторами которого являются Р.М. Асланов и О.В. Ли. Пособие может быть использовано при проведении практических занятий в очной, а также и в дистанционной формах обучения.

Текст документа

На сегодняшний день в ФГОС ВПО РФ выделяется особое внимание теме «Информационные технологии в образование». В связи с чем, появляется необходимость использования информационных технологий в преподавании. В частности, в этой статье рассматривается, как можно применить систему компьютерной алгебры компьютерный Mathcard в разработке лабораторного практикума по математическому анализу, который адресован студентам и преподавателям педагогических вузов по направлению «Педагогическое образование» (профиль подготовки: Информатика) по курсу «Математический анализ». Так как в рабочей программе аудиторные часы сокращены в связи с ФГОС ВПО РФ, то в этой ситуации немаловажно использование информационных технологий в учебном процессе. Во-первых, потому что какую-то часть учебного материала студенты могут изучить самостоятельно в дистанционном режиме. Для этого необходимо разработать учебный портал факультета, в частности, кафедры, который бы являлся связующим между преподавателем и студентом. В некоторых вузах России уже существуют такие разработки. Во-вторых, информационные технологии отвечают за качество образования, за максимальный объем изученного и освоенного учебного материала студентами.

О программе  Mathcard. Mathcad – система компьютерной алгебры из класса систем автоматизированного проектирования. Mathcad используется в сложных проектах, чтобы визуализировать результаты математического моделирования путем использования распределённых вычислений и традиционных языков программирования. Эта система достаточно удобна для проведения вычислений и инженерных расчетов.

Рассмотрим структуру и содержание предполагаемого лабораторного практикума.

1.    Предисловие.

2.    Лабораторная работа № 1. «Вычисление определенного интеграла».

Задания для самоподготовки.

3.    Лабораторная работа № 2. «Вычисление определенного интеграла заменой переменной».

 Задания для самоподготовки.

4.         Лабораторная работа № 3. «Вычисление определенного интеграла интегрированием по частям»

Задания для самоподготовки.

5.    Лабораторная работа № 4. «Интегрирование рациональных функций»

Задания для самоподготовки.

6.    Лабораторная работа № 5. «Интегрирование иррациональных функций»

Задания для самоподготовки.

7.    Контрольная работа № 1.

8.    Лабораторная работа № 6. «Вычисление длины дуги плоской кривой»

Задания для самоподготовки.

9.    Лабораторная работа № 7. «Вычисление площадей плоских фигур»

Задания для самоподготовки.

10.    Лабораторная работа № 8. «Вычисление площади поверхности тела»

Задания для самоподготовки.

11.    Лабораторная работа № 9. «Вычисление  объема тела»

Задания для самоподготовки.

12.    Контрольная работа № 2.

13.    Приложение.

14.    Литература.

В пособие включены 9 лабораторных работ по разделу «Интегральное исчисление»  математического анализа, который изучается согласно рабочей программе на втором семестре первого курса. Общая трудоемкость по данному разделу составляет 36 аудиторных часов. В лабораторные работы включены: теоретический материал, дополнительный материал, примеры с подробным решением с применением  программы Mathcad, задания с ответами для самоподготовки, две контрольные работы. Первая контрольная работа посвящена проверке освоения тем, изученных в лабораторных работах № 1–№ 5. Вторая контрольная работа посвящена проверке освоения тем, изученных в лабораторных работах № 6–№ 9. В приложении дана таблица основных неопределенных интегралов в помощь студентам и преподавателям и информация о программе Mathcad.

Рассмотрим содержание одной из лабораторных работ пособия. Так как объем лабораторной работы большой, то в ее содержании будут рассмотрены только некоторые примеры с подробным решением.

 

Лабораторная работа № 9. «Вычисление  объема тела»

 

Цель работы:  научиться вычислять объем тела вращения и объем тела, ограниченного поверхностями,  с помощью двойного и тройного интеграла в прямоугольной, цилиндрической, сферической системе координат с использованием систем компьютерной математики.

 

Теоретический материал

Объем тела вращения. Объём поверхности вращения, образованной вращением кривой  вокруг оси  Ox,  можно вычислить по формуле

 

                                                                                         (1)

Пример 1.Вычислить объем конуса, высота которого h= 8 и радиус основания  r= 4.

Построение графика. Для наглядности построим график функции   в программе        Mathcad. Выберем систему координат так, чтобы ось Oxсовпала с высотой h, а вершину конуса примем за начало координат. Будем рассматривать поверхность конуса как поверхность, полученную в результате вращения прямой    вокруг оси Ox.

В поле Mathcad набираем данные функции

                                 

Затем нажимаем на кнопку  (на панели инструментов), это график в двухмерном пространстве, после чего появится система координат.

 

 

В соответствующих  полях  системы координат вводим параметры и наиболее удобный масштаб, можно добавить координатные оси. После чего программа автоматически построит графики соответствующих функций.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение. Объем поверхности конуса найдется по формуле (1). Следовательно

 

       (куб.ед.).

 

Проверка. В программе        Mathcad     набираем  интеграл, затем нажимаем на кнопку  (на панели инструментов), после чего выводится ответ

 

 

 

 

 

Ответ:           (куб.ед.).

Объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной графиками функций  и  и, возможно, прямыми   и  , вокруг оси Ox, вычисляется следующим образом:

1 этап

1. Если выполняется следующая система неравенств:

 

,

то объем тела вычисляется по формуле

 

.                                                                                       (2)

2. Если же неизвестны a и b, или неизвестно, какая из функций  и   больше другой на отрезке [a; b], то переходим ко второму этапу.

2 этап

Находим точки a и b, как точки пересечения графиков функций  и . Для этого нужно решить уравнение  .

3 этап

Необходимо выяснить знак разности   на отрезке [a; b]. Для этого достаточно взять любую точку из интервала (a; b) и вычислить в этой точке значение разности  . Возможны два случая.

1.  Если   0, то  , тогда объем тела вычисляется по формуле

 

.                                                                                        (3)

 2. Если  0, то  , тогда объем тела вычисляется по формуле (2):

 

.     

Замечание. Аналогично решается задача, если тело образовано вращением фигуры вокруг оси Oy.

Пример 2.Вычислить объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной графиками функций   и  ,  вокруг оси  Ox.

Построение графика. Полученное тело будет выглядеть следующим образом.

 

 

Объем тела, ограниченного поверхностями

 

Вычисление объема тела с помощью двойного  интеграла

 

Объём тела, ограниченного поверхностями, вычисляется по формуле

 

   

.                                                                           (4)

 

  Пример 3.Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями

 

 .

Построение графика. Для наглядности построим графики функций   в программе        Mathcad. Будем рассматривать поверхность тела как поверхность, полученную в результате ограничения поверхностей   и  .

В поле Mathcad набираем данные функции

               

                 

 

Затем нажимаем на кнопку  (на панели инструментов), это график в трехмерном пространстве, после чего появится система координат.

 

 

В соответствующих  полях  системы координат вводим параметры и наиболее удобный масштаб. После чего программа автоматически построит графики соответствующих функций.

                              

 

 

 

 

Решение. Линия пересечения      – это окружность   (проекция на плоскость XOY).  Проекция на XOY самого тела – круг, ограниченный этой окружностью:  Тело можно задать неравенствами:   по формуле (4), имеем

 

 ,

где  область D – круг радиуса 2 с центром в начале координат. Для вычисления данного интеграла перейдем в полярную систему координат

 

(куб.ед.).

 

Проверка. В программе Mathcad набираем интеграл, затем нажимаем на кнопку  (на панели инструментов), после чего выводится ответ

 

 

 

 

 

 

 

 

Ответ:    (куб.ед.).

 

Вычисление объема тела с помощью тройного интеграла

 

Объем тела в прямоугольной системе координат

 

Объем тела U  в прямоугольной системе координат Oxyz  выражается формулой

 

.                                                                                  (5)

 

Пример 4. Найти объем тела, ограниченного поверхностями

 

 z=0, z =2 x, y =2y =.

 

Построение графика.Полученное тело будет выглядеть следующим образом.

 

                              

Объем тела в цилиндрической системе координат

 

В цилиндрических координатах объем тела равен

 

.                                                                                              (6)

 

Пример 5. Найти объем конуса высотой H=8  и радиусом основания R=4.

Построение графика Полученное тело будет выглядеть следующим образом.

 

 

 

Объем тела в сферической системе координат

 

В сферических координатах, соответственно, используется формула

 

.                                                                       (7)

 

Пример 6. Найти объем шара x2 + y2 + z2 = 16.

Построение графика. Данное тело будет выглядеть следующим образом.

 

 

 

В заключении можно сказать, что информационные технологиииграют важную роль в развитии пространственно-графической культуры студентов. В частности программа Mathcardпозволяет студентам моделировать геометрические объекты в трехмерном пространстве. Поэтому данный лабораторный практикум позволяет не только научить студентов вычислять интегралы, но и работе в программе Mathcard.

 

ЛИТЕРАТУРА

 

[1] Асланов Р.М., Федорова А.А. Начала анализа и их приложения: Учебное пособие. – М.: МПГУ, 2008. – 225 с.

 

[2] Ли О.В. Об использовании информационных технологий в курсе математического анализа в педвузе // Современные  подходы к оценке и качеству математического образования в школе и вузе: Материалы 32 Международного научного семинара преподавателей математики университетов и педагогических вузов. – Екатеринбург: УрГПУ, РГППУ, УрГЭУ, 2013. – С. 127–129.


Автор оригинала: Р.М. Асланов, О.В. Ли
Источник оригинала: Журнал "Вестник РУДН" Серия «Информатизация образования», 2014, №1

Новости
16.06.2017

Российский университет дружбы народов объявляет о проведение первой волны вступительных испытаний среди иностранных граждан для обучения на программах магистратуры на контрактной основе. Первая ...

13.10.2016

26 октября-27 октября 2016 года Российский университет дружбы народов проводит Международную конференцию «Сетевые университеты и международный рынок труда (пространства БРИКС, СНГ, ШОС)».

19.05.2016

The Peoples’ Friendship University of Russia (PFUR) announces the beginning of admission of foreign citizens who graduated from Bachelor and Specialist Degree programs of PFUR and other Russian and ...

19.05.2016

Российский университет дружбы народов (РУДН) объявляет о наборе иностранных граждан -выпускников бакалавриата и специалитета РУДН и других российских и зарубежных ВУЗов на программы магистратуры на ...

11.12.2015

Проект рекомендаций Семинара-совещания научной общественности по проблемам международного научно-технического и образовательного сотрудничества