Информационно-образовательный портал СОДРУЖЕСТВА НЕЗАВИСИМЫХ ГОСУДАРСТВ
ИНФОРМАТИЗАЦИЯ ОБРАЗОВАНИЯ
И ДИСТАНЦИОННОЕ ОБУЧЕНИЕ В СНГ
Информационно-образовательный портал СОДРУЖЕСТВА НЕЗАВИСИМЫХ ГОСУДАРСТВ  

Страны
Азербайджанская Республика
Республика Армения
Республика Беларусь
Республика Казахстан
Кыргызская Республика
Республика Молдова
Российская Федерация
Республика Таджикистан
Туркменистан
Республика Узбекистан
Украина

Типы материала
Информационно-коммуникационные технологии
Дополнительные информационные материалы
Нормативно-правовое обеспечение
Организация и методики обучения
Экономика образования
Межгосударственное сотрудничество
Образовательные центры
Методики обучения
Межвузовское сотрудничество
Повышение квалификации
Международные проекты и гранты, конкурсы
Конференции, симпозиумы, семинары и др.
Библиотека
 
Журнал «Вестник РУДН» серия «Информатизация образования»
 
2014, №4
2014, №3
2014, №2
2014, №1
2013, №4
2013, №3
2013, №2
2013, №1
2012, №4
2012, №3
2012, №2
2012, №1
2011, №4
2011, №3
2011, №2
2011, №1
2010, №4
2010, №3
2010, №2
2010, №1
2009, №4
2009, №3
2009, №2
2009, №1
2008, №4
2008, №3
2008, №2
2008, №1
2007, №4
2007, №3
2007, №2-3
2007, №1
2006, №1(3)
2005, №1(2)
2004, №1
Научные и специальные электронные ресурсы
Учебная, научная и специальная литература
Комиссия по дистанционному обучению совета по сотрудничеству в области образования государств-участников СНГ
Новости

Компьютерные технологии - эффективный инструмент идентификации математических моделей


Аннотация
В статье рассматривается значение компьютерного моделирования при исследовании свойств реальных объектов, предметов и явлений. Вычислительный эксперимент представляется как эффективная технология воссоздания неизвестных характеристик объекта, подчеркивается его большая роль при решении обратных задач в теоретических естественнонаучных исследованиях и доказательствах.

Текст документа

Как известно, математическое моделирование представляет собой один из основных методов познания, является формой отражения действительности и заключается в выяснении или воспроизведении тех или иных свойств реальных объектов, предметов или явлений, и по большому счету играет в настоящее время ключевую роль в анализе жизненно важных проблем, стоящих перед человечеством.

На современном этапе применение передовых компьютерных технологий играет важнейшую роль в развитии теории и практики исследования математических моделей. Появившийся в 1970-х годах прошлого столетия так называемый вычислительный эксперимент, как новая технология научных исследований, представляет возможность выявить те или иные свойства их решений, которые потом могут быть теоретически обоснованы и, в конечном счете, служить фундаментом для дальнейших теоретических исследований. Он включает в себя построение и исследование математических моделей, связанное с использованием многократных расчетов на ЭВМ. И опирается также на использование классических методов математики и теоретической физики, теории алгоритмов, на разработку новых подходов, на создание и применение адекватных программных средств.

Вычислительный эксперимент проводится над математической моделью физического явления, но при этом по одним параметрам модели вычисляются другие параметры и делаются выводы о свойствах изучаемого физического явления. Цель вычислительного эксперимента – построение с необходимой точностью с помощью ЭВМ адекватного количественного описания изучаемого физического явления.

В отличие от физических экспериментальных установок вычислительный эксперимент позволяет накапливать результаты, полученные при исследовании какого-либо круга задач, а затем быстро и гибко применять их к решению задач в совершенно других областях. Этим свойством обладают используемые универсальные математические модели. Например, телеграфные уравнения – одни из представителей дифференциальных уравнений в частных производных – пригодны для описания не только волновых процессов, но и процессов распространения электрических колебаний в проводах, малых поперечных колебаний струн в среде с сопротивлением и др. Изменяется только физический смысл величин, входящих в эти уравнения.

В конечном счете вычислительный эксперимент дает возможность анализировать нелинейные явления в физике, химии, биологии, социологии. А это, в свою очередь, приводит к рождению новых идей, теорий, методов, к развитию междисциплинарных подходов.

Компьютерные технологии, поддерживающие вычислительный эксперимент, включают в себя методы построения математических моделей силами конечных пользователей информационных систем (специалистов в своей предметной области, а не профессиональных математиков и программистов), информационную поддержку их деятельности для поиска и выбора алгоритмов и программ численного решения задач, методы и средства контроля точности производимых вычислений и правильности работы применяемых программ.

С развитием и появлением быстродействующих персональных компьютеров появился термин «компьютерное моделирование», который является почти синонимом термину «математическое моделирование». Действительно, большинство математических моделей требует проведения расчетов на компьютере или, как часто говорят, компьютерных экспериментов. С другой стороны, любые вычисления возможны только на основе некоторой математической модели. Существует много общего между проведением натурного и компьютерного эксперимента.

Компьютерное моделирование незаменимо в тех случаях, когда физический эксперимент невозможен, потому что он либо запрещен (например, при изучении здоровья человека), либо слишком опасен (например, при изучении экологических явлений), либо просто неосуществим (например, при изучении астрофизических явлений, глубинных свойств Земли).

Например, невозможно поставить натурный эксперимент в истории, чтобы проверить, «что было бы, если бы...». Однако это вполне можно сделать на компьютере. Невозможно поставить натурный эксперимент, чтобы проверить правильность той или иной космологической теории (например, теории космических струн, возникшей в конце 60-х годов прошлого столетия при попытке построить теорию сильных взаимодействий и изучающей историю «мировых листов» струн), но вполне можно провести компьютерное моделирование. В принципе возможно, но вряд ли гуманно, поставить натурный эксперимент по распространению какой-либо эпидемии, например, чумы. Подобное моделирование на компьютере не подвергнет опасности здоровье кого бы то ни было. Известны результаты компьютерного моделирования явления «ядерной зимы», выполненные в ВЦ АН СССР под руководством академика Н.Н. Моисеева. Эти результаты дали человечеству, в том числе политикам, неопровержимые аргументы против ядерной войны, даже так называемой «ограниченной ядерной войны». И таких примеров, из самых разнообразных научных областей, можно привести множество.

Суть компьютерного моделирования заключена в получении количественных и качественных результатов по имеющейся модели. Качественные выводы, получаемые по результатам анализа, позволяют обнаружить неизвестные ранее свойства изучаемого объекта: ее структуру, динамику развития, устойчивость, целостность и др. Количественные выводы в основном носят характер прогноза некоторых будущих или объяснения прошлых значений переменных, характеризирующих данную модель.

Ведя разговор о компьютерных технологиях исследования математических моделей, коснемся интенсивно развивающейся теории причинно-следственных обратных задач (см., например, [1–7]), роль которых в естественных науках и их приложениях в настоящее время во всем мире хорошо осознана.

Обратные задачи, как известно, не являются корректными. В обратных задачах, как правило, отсутствует непрерывная зависимость от исходных данных в отличие от прямых задач. Поскольку входной информацией в обратных задачах являются экспериментальные данные, определяемые с некоторой погрешностью, которую не всегда можно оценить, то решение обратной задачи с искаженными входными данными может сильно отличаться от точного решения (нарушаются естественные причинно-следственные связи).

Отмеченная некорректность в одних случаях может быть преодолена весьма просто, в других вообще требует переосмысления понятия самого решения. Однако большая прикладная важность этих задач и появление современных компьютерных технологий, позволяющих получать трехмерные модели с любой необходимой степенью условности и наглядности, включающие ряд универсальных математических систем, таких как Mathematica, Maple, MatLab, MathCad, Derive, реализующих разнообразные численные методы, производящие аналитические математические преобразования и обладающие собственными языками программирования, ставят эти некорректные задачи в ряд актуальных проблем современной математики.

Современные компьютерные технологии обеспечивают высокую степень реалистичности изображения (вписывание объекта в среду, присвоение ему различных материалов, освещение, демонстрация объекта в динамике), что на стадии принятия решений позволяет с большей достоверностью проанализировать свойства исследуемого объекта.

Причинно-следственные обратные задачи, для решения которых применяются математические модели, как правило, очень индивидуальны. При их решении практически невозможно восполь????оваться готовым программным пакетом.

Процедура решения таких задач, состоящих в обращении причинно-след-ственных связей, связана с преодолением серьезных математических трудностей. Успех ее сильно зависит как от качества и количества полученной из эксперимента информации, так и от способа ее обработки. Решение обратных задач проводится, как правило, в рамках некоторой математической модели исследуемого объекта. При этом, исследованию обратной задачи предшествует исследование свойств самой прямой задачи.

Все большая часть математических моделей приобретает стройность и достоверность как раз благодаря достижениям теории обратных задач. Так, с ее помощью достигнут весомый прогресс в компьютерной томографии. Стремительное распространение этого метода обусловлено его эффективным применением в медицине, биологии, диагностике плазмы. Внедрение метода компьютерной томографии произвело революцию в медицинской диагностике, электронной микроскопии биологических макромолекул, вирусологии и др.

Численные методы решения обратных задач требуют особого подхода, так как решения некорректно поставленных задач обычно обладают плохой устойчивостью по отношению к данным, небольшие ошибки в измерениях могут привести к большим уклонениям в решении. Поэтому требуется строить такие алгоритмы решения задачи (регуляризирующие алгоритмы), которые позволяли бы строить устойчивые приближения к искомому решению по мере улучшения точности измерений. Общие принципы их построения были развиты в научных школах А.Н. Тихонова, М.М. Лаврентьева, В.К. Иванова.

Конструкция и апробация вычислительных алгоритмов нахождения приближенных решений модельных обратных задач предполагает наличие дополнительной информации о решении прямой задачи, удовлетворяющей конкретным требования (гладкости, согласованности и др.).

По типу дополнительной информации, задаваемой относительно решения прямой задачи, обратные задачи для дифференциальных уравнений делятся на ряд групп. В частности, для гиперболических уравнений – на кинематические, спектральные и обратные задачи рассеяния, динамические обратные задачи. В динамических обратных задачах для гиперболических уравнений в качестве дополнительной информации задается след решения соответствующей прямой задачи на некоторой, как правило временно-подобной, поверхности.

И, если удастся построить решение прямой задачи, что является делом весьма не простыми, то дополнительная информация по сути дела и вытекает непосредственно из данного решения. Здесь и может прийти на помощь компьютер с универсальными математическими системами, который обеспечивает исследователю маневренность, динамичность, мобильность поиска решения поставленной перед ним задачи.

При проведении вычислительного эксперимента исследователь может с помощью пользовательского интерфейса «играть» на модели, ставя интересующие его вопросы и получая ответы. Таким образом, исследователь получает мощный инструмент для анализа и прогноза поведения сложных нелинейных многопараметрических объектов и явлений, изучение которых традиционными методами затруднено или вообще невозможно.

Осознанное использование разнообразных пакетов или библиотек программ для решения больших задач существенно основано на понимании как самих алгоритмов, так и способов хранения и оперирования с данными.

 

 

ПРИМЕЧАНИЯ

 

1. Белишев М.И., Благовещенский А.С. Динамические обратные задачи теории волн. – СПб., 1999. – 266 с.

2. Бухгейм А.Л. Введение в теорию обратных задач. – Новосибирск, 1988. – 181 с.

3. Денисов А.М. Введение в теорию обратных задач. – М., 1994. – 207 с.

4. Кабанихин С.И. Проекционно-разностные методы определения коэффициентов ги-перболических уравнений. – Новосибирск, 1988. – 166 с.

5. Корнилов В.С. Некоторые обратные задачи для волновых уравнений. – Новосибирск, 2000. – 252 с.

6. Романов В.Г. Обратные задачи математической физики. – М., 1984. – 264 с.

7. Самарский А.А., Вабишевич П.Н. Численные методы решения обратных задач мате-матической физики. – М., 2004. – 478 c.

8. Потемкин В.Г. Вычисления в среде MATLAB. – М., 2004. – 972 с.

9. Семененко М.Г. Математическое моделирование в MathCad. – М., 2003. – 97 с.

Автор оригинала: Корнилов B.C.
Источник оригинала: Журнал «Вестник РУДН» серия «Информатизация образования», 2004, №1

Новости
16.06.2017

Российский университет дружбы народов объявляет о проведение первой волны вступительных испытаний среди иностранных граждан для обучения на программах магистратуры на контрактной основе. Первая ...

13.10.2016

26 октября-27 октября 2016 года Российский университет дружбы народов проводит Международную конференцию «Сетевые университеты и международный рынок труда (пространства БРИКС, СНГ, ШОС)».

19.05.2016

The Peoples’ Friendship University of Russia (PFUR) announces the beginning of admission of foreign citizens who graduated from Bachelor and Specialist Degree programs of PFUR and other Russian and ...

19.05.2016

Российский университет дружбы народов (РУДН) объявляет о наборе иностранных граждан -выпускников бакалавриата и специалитета РУДН и других российских и зарубежных ВУЗов на программы магистратуры на ...

11.12.2015

Проект рекомендаций Семинара-совещания научной общественности по проблемам международного научно-технического и образовательного сотрудничества