Информационно-образовательный портал СОДРУЖЕСТВА НЕЗАВИСИМЫХ ГОСУДАРСТВ
ИНФОРМАТИЗАЦИЯ ОБРАЗОВАНИЯ
И ДИСТАНЦИОННОЕ ОБУЧЕНИЕ В СНГ
Информационно-образовательный портал СОДРУЖЕСТВА НЕЗАВИСИМЫХ ГОСУДАРСТВ  

Страны
Азербайджанская Республика
Республика Армения
Республика Беларусь
Республика Казахстан
Кыргызская Республика
Республика Молдова
Российская Федерация
Республика Таджикистан
Туркменистан
Республика Узбекистан
Украина

Типы материала
Информационно-коммуникационные технологии
Дополнительные информационные материалы
Нормативно-правовое обеспечение
Организация и методики обучения
Экономика образования
Межгосударственное сотрудничество
Образовательные центры
Методики обучения
Межвузовское сотрудничество
Повышение квалификации
Международные проекты и гранты, конкурсы
Конференции, симпозиумы, семинары и др.
Библиотека
 
Журнал «Вестник РУДН» серия «Информатизация образования»
 
2014, №4
2014, №3
2014, №2
2014, №1
2013, №4
2013, №3
2013, №2
2013, №1
2012, №4
2012, №3
2012, №2
2012, №1
2011, №4
2011, №3
2011, №2
2011, №1
2010, №4
2010, №3
2010, №2
2010, №1
2009, №4
2009, №3
2009, №2
2009, №1
2008, №4
2008, №3
2008, №2
2008, №1
2007, №4
2007, №3
2007, №2-3
2007, №1
2006, №1(3)
2005, №1(2)
2004, №1
Научные и специальные электронные ресурсы
Учебная, научная и специальная литература
Комиссия по дистанционному обучению совета по сотрудничеству в области образования государств-участников СНГ
Новости

О компьютерных расчетах задач электротехники методами линейной алгебры


Аннотация
В статье обосновывается педагогическая целесообразность изучения линейных пространств графов в курсе линейной алгебры с точки зрения применения этих пространств в компьютерных методах расчёта электрических цепей.

Текст документа

В последнее время в связи с развитием техники, усложнением применяемых в этой области устройств и повышением требований к их точности, для анализа работы и расчета характеристик этих устройств в современной электротехнической литературе большое внимание стали уделять компьютерным методам расчёта. К таким методам, в первую очередь, относятся матрично-топологические методы, благодаря которым процедура формирования математических моделей линейных электрических цепей в виде матричных уравнений наиболее наглядна проста и согласована с последующим их численным решением при помощи стандартных программ или универсальных математических пакетов (MathCAD, MathLAB и др.). Строгое математическое обоснование этих компьютерных методов можно найти в литературе [1,2]. Оно опирается на разделы из теории графов, которые изучают построение и свойства линейного пространства графа и двух его подпространств: контуров и сечений. Но этот теоретический материал не включён ни в курс дискретной математики, ни в курс электротехники, ни в последующие специальные курсы, читаемые в техническом вузе. Кроме того, недостаток знаний о пространствах графов трудно восполнить самостоятельно, так как подходящая литература издавалась в основном в 60 ?70-е годы. В результате студенты, изучающие курс «Теоретические основы электротехники» (ТОЭ), плохо понимают матрично-топологические методы и, как следствие, имеют недостаточные навыки их применения при компьютерных расчётах электрических цепей.

Удельный вес матрично-топологических методов в последние годы продолжает возрастать, поэтому мы считаем, что курс математики в техническом вузе должен учитывать эти современные тенденции и включать необходимые теоретические концепции прикладной математики. Чтобы ликвидировать данный пробел в математическом образовании электро- и радиоинженеров, важно в курсе линейной алгебры при изучении темы «Линейные пространства» рассмотреть в качестве примера построение линейных пространств графов. Так как этот материал предназначен студентам первого курса, то для простоты достаточно дать определения только связных планарных графов и их остовных подграфов. Кроме остовных подграфов, другие типы подграфов не вводятся, поэтому слово «остовные» в дальнейших рассуждениях опустим. Чтобы не было расхождения с терминологией, которая используется в электротехнической литературе, определения и обозначения берём из учебников по ТОЭ.

Ещё одной коммутативной группой изоморфной группе W(G) будет Е(G). Действительно, если G1,G2ÎW(G), E1,E2ÎЕ(G) и G1=(V,E1« E1, G2=(V,E2« E2, то G1+G2=(V, E1+E2) « E1+E2.

Мы не будем различать между собой эти три группы и обозначим их одним и тем же символом W(G). Введённую группу W(G) удобно рассматривать как линейное пространство над полем GF(2) со сложением по модулю два и обычным умножением (0•0=0, 0•1=0, 1•0=0, 1•1=1). Линейная зависимость системы элементов ÎW(G)  означает существование такой непустой подсистемы, которая в сумме даёт нулевой элемент . Так как элементы , , …,  (однорёберные подграфы) линейно независимы, а любой подграф через них линейно выражается как , то эти п подграфов образуют базис пространства W(G), в силу чего его размерность dimW(G)=n. Из приведённых рассуждений вытекает следующая теорема.

Теорема. Для графа G пространство W(G) является п-мерным линейным пространством над полем GF(2).

Решение стандартных задач из курса линейной алгебры в пространстве W(G) над полем GF(2) вначале сильно удивляет первокурсников технического вуза. Для них становится настоящим открытием тот факт, что знакомые алгебраические понятия, такие как линейная зависим??сть, ранг матрицы, обращение матриц и т.д., справедливы в любом поле и особенно они применимы к полю GF(2). Отметим, что этот учебный материал является необходимым теоретическим фундаментом для решения профессионально ориентированных задач, в том числе и из теории кодирования информации. Например, стандартная задача на нахождение координат вектора при переходе от одного базиса к другому в теории кодирования связана с перекодировкой (в равномерном алфавитном двоичном кодировании смена базиса приводит к перекодированию всех векторов, координаты которых можно представлять некими кодовыми словами).

В пространстве W(G) можно ввести скалярное произведение векторов так же как и в арифметическом, а затем обсудить вопрос о линейной зависимости системы векторов, используя матрицу Грама, и решить задачи на нахождение базисов пространства, содержащих известные подсистемы векторов. В пространстве W(G) нельзя дать определение ортогональности, имеющее смысл. Поэтому для подпространств понятие ортогонального дополнения не вводится.

В электротехнике, при расчёте цепей матрично-топологическими методами, цепь заменяют ориентированным графом L, который является топологической моделью схемы электрической цепи. Далее для графа L строится линейное пространство W(L) по схеме, аналогичной для пространств неориентированных графов. Отличие только в том, что взаимно однозначное соответствие вводится между множеством ориентированных подграфов W(L) и W(Rn), множеством всех подмножеств множества Rn (множество строк длины п с компонентами из поля действительных чисел R). А именно, каждому подграфу Lk=(V,Ek’) ставится в соответствие множество строк , у которого каждая строка  имеет вид: , если , и , если . В качестве упражнения студентам предлагается самостоятельно сначала проверить, что W(Rn) является линейным пространством над полем GF(2), а затем доказать изоморфизм пространств W(L) и W(Rn). Эти пространства не различают и обозначают одним и тем же символом W(L).

Необходимо акцентировать внимание студентов на том, что, грубо говоря, ориентированный подграф из W(L) – это множество строк с элементами из поля R, а неориентированный подграф из W(G) – это одна строка с элементами из поля GF(2).

Скалярное произведение векторов в пространстве W(L) определяется так же, как и в Rn, поэтому имеют смысл и понятие ортогональности, и понятие ортогонального дополнения.

Для решения задач электротехники матрично-топологическими методами необходимо уметь строить в пространстве W(L) два важных для расчётов подпространства: контуров и сечений, которые фактически определяют пространства напряжений и токов электрической цепи. Изучение этих подпространств требует дополнительного времени, поэтому включить необходимый теоретический материал в курс линейной алгебры не удаётся. В настоящее время разработан и читается спецкурс, на котором не только изучаются подпространства контуров и сечений, но и решаются задачи электротехники матрично-топологическими методами при помощи специализированного математического пакета Mathсad. Спецкурс ведётся по следующему плану:

·        Основные понятия. Водятся понятия дерева, хорды, цикломатического числа графа, ранга графа.

·        Эйлеров граф. Даётся определение эйлерова контура и доказываются два утверждения: а) связный граф эйлеров тогда и только тогда, когда каждый его узел имеет чётную степень; б) граф G называется графом Эйлера тогда и только тогда, когда G есть объединение простых контуров, причём не существует двух контуров, имеющих общую ветвь.

·        Подпространство WC контуров неориентированного графа. Рассматривается множество WC подграфов неориентированного графа G со всеми чётными вершинами, а именно, эйлеровых подграфов, и доказывается, что WC является подпространством линейного пространства W(G), которое называется подпространством контуров неориентированного графа.

·        Подпространство W¢С контуров ориентированного графа L. Вводится понятие циклического маршрута. Подпространство W¢С строится при помощи циклических маршрутов: при обходе маршрута ветвь   проходится  раз в направлении её ориентации и  раз в противоположном направлении; тогда данному маршруту сопоставим строку , которая принадлежит некоторому ориентированному подграфу . В результате по??учается соответствие между всевозможным циклическим маршрутам в графе L и некоторым подмножеством W¢С ориентированных подграфов в W(L). Так как W¢С ? множество эйлеровых подграфов, то из теоремы, доказанной выше, следует, что W¢С является подпространством пространства W(L).

·        Подпространство WS сечений неориентированного графа. Вводятся понятия сечения и простого сечения, как подграфов графа G, и доказывается, что множество WS всевозможных сечений является подпространством линейного пространства W(G). При этом понадобится вспомогательная теорема о том, что контур и простое сечение связного графа имеют чётное число общих ветвей. Подпространство WS называется подпространством сечений неориентированного графа.

·        Подпространс??во W¢S сечений ориентированного графа L. Это подпространство строится при помощи простых сечений. Каждому простому сечению S=(V,E’) графа L приписывается ориентация и ставится в соответствие строка , у которой , если ; , если  и ветвь ориентирована так же, как сечение; , если  и ветвь ориентирована противоположно сечению. Множество строк, соответствующих простым сечениям, порождает подмножество W¢S ориентированных подграфов в W(L). По построению W¢Sмножество простых сечений, поэтому по теореме, доказанной в предыдущем пункте, оно является подпространством пространства W(L).

·        Главные контуры и главные сечения. Размерности подпространств контуров и сечений. Для неориентированного графа G вводятся понятия главных контуров и сечений; доказывается, что система главных контуров (главных сечений) графа G относительно дерева Т образует базис подпространства WС ( WS) и что размерность подпространства контуров (сечений) равна цикломатическому числу (рангу) графа G. Доказательство теоремы даёт алгоритм построения базисов в подпространствах WС и WS. Построенные таким образом базисы обычно используются при изучении электрических цепей.

·        Узловая матрица А, контурная матрица B и матрица сечений Q. Связь между матрицами А, Q и В. Ортогональность подпространств WС и WS. Вводятся матрицы А, Q и В и устанавливаются некоторые свойства этих матриц, которые помогают раскрыть структуру графа. Матрицы А, Q и В используются при исследовании электрических цепей; эти матрицы входят в качестве коэффициентов в уравнения Кирхгофа, описывающие цепь. Поэтому свойства этих матриц и другие связанные с ними результаты широко используются в компьютерных методах расчёта электрических цепей.

·         Топология электрических цепей. Законы электрических цепей в матричной форме. Матричные уравнения метода контурных токов и метода узловых потенциалов. Примеры решения задач электротехники матрично-топологическими методами с использованием математического пакета Mathсad. Кратко излагаются основы матрично-топологических методов. Этот материал иллюстрируется примерами расчётов из курса «Теоретические основы электротехники».

Основная цель этого спецкурса состоит в том, чтобы на начальном этапе в простой и доступной форме дать математическое обоснование компьютерных ??етодов расчёта электрических цепей, объяснить многие обычные положения и операции, используемые при анализе цепей. Отметим, что в последнее время алгебраическими методами выполнено большое количество работ, посвящённых не только анализу, но и синтезу электрических цепей. Знание линейных пространств графов значительно облегчает решение задач синтеза, поэтому данный материал способствует качественной подготовке будущих электро- и радиоинженеров.

Таким образом, изучение линейных пространств графов в курсе алгебры усиливает фундаментальную подготовку будущих специалистов и приводит программу и характер курса в соответствие с современными тенденциями в приложениях математики.

ЛИТЕРАТУРА

1.Сешу С. и Рид М.Б. Линейные графы и электрические цепи. – М.: Высш. школа, 1971.

2. Басакер Р., Саати Т. Конечные графы и сети. – М.: Наука, 1973.

3. Зыков А.А. Основы теории графов. М.: Наука 1987.

Автор оригинала: Исмагилова Е. И.
Источник оригинала: Журнал «Вестник РУДН» серия «Информатизация образования», 2008, №4

Новости
16.06.2017

Российский университет дружбы народов объявляет о проведение первой волны вступительных испытаний среди иностранных граждан для обучения на программах магистратуры на контрактной основе. Первая ...

13.10.2016

26 октября-27 октября 2016 года Российский университет дружбы народов проводит Международную конференцию «Сетевые университеты и международный рынок труда (пространства БРИКС, СНГ, ШОС)».

19.05.2016

The Peoples’ Friendship University of Russia (PFUR) announces the beginning of admission of foreign citizens who graduated from Bachelor and Specialist Degree programs of PFUR and other Russian and ...

19.05.2016

Российский университет дружбы народов (РУДН) объявляет о наборе иностранных граждан -выпускников бакалавриата и специалитета РУДН и других российских и зарубежных ВУЗов на программы магистратуры на ...

11.12.2015

Проект рекомендаций Семинара-совещания научной общественности по проблемам международного научно-технического и образовательного сотрудничества